Vad betyder upphöjt till minus 2
Använd vårt verktyg här nedan för att snabbt och enkelt räkna ut ett valfritt tal upphöjt till valfri exponent.Potenser
Potenser kallas allmänt då man beräknar till “upphöjt till“. Potenser samt potenslagarna existerar många användbara sätt för att uttrycka matematik såsom annars skulle bli många besvärlig för att studera samt nedteckna. Man förmå yttra för att potenser existerar till multiplikationen, vilket multiplikationen existerar till additionen.
detta önskar yttra, multiplikation kunna ses såsom upprepad addition, samt vid identisk sätt är kapabel potensräkning ses såsom enstaka förkortning på grund av upprepad multiplikation.
Potenser kallas allmänt då man beräknar på grund av “upphöjt till“.inom fysiken förekommer detta ofta vid bas från för att detta existerar extrema storleksskillnader mellan volymen vid en äpple samt enstaka planet. inom matematiken brukar oss ej blanda äpplen samt planeter, dock oss behöver ändå ofta räkna tillsammans stora anförande, samt stora multiplikationer, vilket snabbt blir många otympligt ifall man ej kontrollerar eller är skicklig i potensräkning.
Tidigare äger oss såsom hastigast stött vid begreppet potenser, då oss lärde oss ifall räkneordning.
inom detta på denna plats avsnittet bör oss vandra igenom begreppet potenser samt dem räknelagar liksom oss använder då oss beräknar tillsammans med potenser.
Potens, bas samt exponent
Ibland är kapabel man äga matematiska formulering var man upprepar identisk matematiska räkneoperationer flera gånger ifall. inom liknande lägen är kapabel detta existera god för att behärska notera detta vid en mer kompakt sätt, samtidigt såsom betydelsen från formulering bevaras.
Till modell kunna man titta multiplikation liksom en mer kompakt sätt för att uttrycka upprepad addition.
$$5+5+5+5$$
kan oss ju istället notera som
$$5\cdot 4$$
vilket existerar enklare.
Det finns enstaka liknande genväg då detta gäller multiplikation:
$$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$
kan oss istället nedteckna som
$$5^4$$
vilket utläses såsom "fem upphöjt mot fyra" samt betyder just talet \(5\) gånger sig självt fyra gånger.
Det enklaste existerar nog för att försöka komma minnas för att "om något existerar upphöjt mot minus någonting existerar detta identisk sak liksom för att ta försvunnen minustecknet samt dela 1 tillsammans med vad-det-nu-är istället".vid datorer samt miniräknare används tecknet ^ till för att företräda potenser: \(5\)^\(4\).
Ett anförande skrivet vid den denna plats formen kallas till en potens. inom uttrycket \(5^4\) kallas siffran \(5\) på grund av bas samt siffran \(4\) till exponent.
$$bas^{exponent}=potens$$
Det finns en antal potenslagar vilket existerar utmärkt för att komma minnas samt likt talar angående på grund av oss hur oss bör räkna tillsammans potenser.
Multiplikation från potenser tillsammans med identisk bas
Om oss äger numeriskt värde potenser tillsammans med identisk bas samt bör multiplicera dessa potenser, då är kapabel oss notera detta liksom inom nästa exempel:
$$ \\ {5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5={5}^{{}^{6}}$$
Detta förmå även skrivas
$${5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}={5}^{{}^{2+4}}={5}^{{}^{6}}$$
Eftersom på grund av något anförande, vilket oss kallar a, gäller alltså att
$$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^6$$
Vilket uttrycks allmänt som
$$ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$$
I mening säger oss för att nära multiplikation från potenser adderas exponenterna ifall potenserna besitter gemensam bas.
Division från potenser tillsammans med identisk bas
På motsvarande sätt likt nära multiplikation från potenser tillsammans med identisk bas, kunna man notera enstaka division från numeriskt värde potenser tillsammans identisk bas vilket inom nästa exempel:
$$\frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}={3}^{{}^{3}} $$
Man kunna även notera detta som
$$ \frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}={3}^{{}^{6-3}}={3}^{{}^{3}} $$
och allmänt som
$$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$
$$\text{där}\;a \neq 0 $$
I mening säger oss för att nära division från potenser subtraheras exponenterna angående potenserna besitter gemensam bas.
Potens från ett potens
Har oss en potensuttryck samt bör beräkna potensen från detta, då får oss enstaka uppställning liksom förmå titta ut liksom inom detta på denna plats exemplet:
$$ (11^3)^4=11^3\cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3$$
Om oss tillämpar regeln ifall multiplikation från potenser tillsammans identisk bas, likt oss kom fram mot tidigare inom detta på denna plats avsnittet, upprepade gånger, då får vi
$$ 11^3 \cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$
Vi vet att
$$3+3+3+3=3\cdot4=12$$
Därför gäller
$$ (11^3)^4=11^{3\cdot \, 4}=11^{12} $$
Allmänt blir detta
$$ (a^x)^y = a^{x \cdot \, y}$$
Potens från enstaka produkt
Vi kunna även äga potensuttryck vilket äger mer komplicerade baser.
Anta mot modell för att basen utgörs från enstaka vara, sålunda här
$$(5x)^2$$
där \(x\) existerar något okänt tal.
Hur fullfölja man då?
Eftersom både \(5\):an samt \(x\):et existerar upphöjt mot \(2\) kunna oss istället notera uttrycket som
$$(5x)^2=(5x)\cdot(5x)=5^2\cdot x^2=25x^2$$
Allmänt gäller att
$${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$$
Potens från enstaka kvot
På en liknande sätt vilket inom fallet ovan, var basen inom ett potens utgjordes från ett vara, förmå man beräkna enstaka potens från enstaka kvot.
inom dessa fall kunna oss äga en potensuttryck liknande nästa exempel:
$$\left ( \frac{2x}{3} \right ) ^3$$
Här utgörs potensens bas från kvoten \(\frac{2x}{3}\), medan potensens exponent existerar lika tillsammans med 3.
Denna potens förmå oss, tillsammans hjälp från regeln till multiplikation från bråktal, notera ifall som
$$\left ( \frac{2x}{3} \right )^3= \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3= \frac{(2x)^3}{3^3}$$
Vi kunna gå vidare för att förenkla uttrycket, dock nöjer oss därför denna plats samt konstaterar för att oss kunna nedteckna angående enstaka potens från enstaka kvot i enlighet med nästa generella team (så länge \(b ≠ 0\)):
$$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$$
Potenser tillsammans med negativa exponenter
Om oss äger bråket
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}$$
och önskar förenkla detta, får oss genom regeln till division från potenser tillsammans med gemensam bas att
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}={4}^{{}^{2-4}}={4}^{{}^{-2}}$$
Vi kunna även titta detta som
$$\frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}=\frac{4\cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
Det på denna plats innebär för att nästa samband gäller:
$${4}^{{}^{-2}}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
I detta allmänna fallet förmå oss notera detta som
$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$
där \(a ≠ 0\).
Potenser tillsammans exponenten noll
Vi vet att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}={5}^{{}^{3-3}}={5}^{{}^{0}} $$
Men oss vet även att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}=1$$
Alltså måste detta innebära att
$$ {5}^{{}^{0}}=1$$
Allmänt blir detta
$$ {a}^{0}=1$$
$$a\neq 0$$
och tillsammans mening för att angående exponenten existerar noll existerar potensen lika tillsammans med \(1\).
Potenslagar
Nu besitter oss gått igenom en antal generella regler vilket gäller då oss beräknar tillsammans potenser, vad oss kallar potenslagarna.
Låt oss summera vilket oss kommit fram mot hittills:
Räkneordning tillsammans med potenser
Som oss nämnde inom start från detta på denna plats kapitlet, påverkas räkneordningen av ifall en formulering innehåller potenser.
Prioriteringsreglerna (räkneordningen) tillsammans potenser inkluderade, lyder nu:
- Parenteser
- Potenser
- Multiplikation samt division
- Addition samt subtraktion
Har oss mot modell nästa uttryck
$$2 \cdot (3-2^3)+\frac{4}{2}$$
så kalkylerar oss ursprunglig uttrycket inom parentesen, sedan potenser, därefter multiplikation samt division, samt slutligen addition samt subtraktion.
Att beräkna ett parentes innebär för att oss tillämpar räkneordningen vid parentesuttrycket separat:
$$(3-2^3)=(3-8)=(-5)$$
När oss för tillfället existerar klara tillsammans för att beräkna uttrycket inom parentesen, ser oss för att detta återstående uttrycket ej innehåller några fler parenteser samt ej heller några potenser, därför oss tar oss an multiplikation samt division härnäst:
$$2\cdot (-5) +\frac{4}{2}=(-10)+2$$
I sista steget genomför oss den återstående additionen samt får
$$-10+2=-8$$